Nät (matematik)

Poll without page-refresh

Article on other languages:

	del.icio.us
	Digg
	Furl
	Reddit
	Rojo
	Add to OnlyWire

Inom topologi, ett delområde av matematik, är ett nät en generalisering av begreppet följd. Inom analysen använder man ofta konvergens av följder av element för att undersöka olika egenskaper, t ex kontinuitet, kompakthet och/eller slutenhet av mängder och annat. För många topologiska rum är följder dock inte tillräckliga, utan det krävs ett mer generellt begrepp. Detta har att göra med att vissa topologiska rum inte har en uppräknelig lokal bas för sin topologi.

Definition

För att kunna definiera ett nät måste vi först definiera begreppet "riktad mängd" En riktad mängd $A$ är en mängd A utrustad med en binär relation $\preceq$ som uppfyller följande egenskaper:

$a \preceq a$ för alla $a \in A$ (reflexivitet)
Om $a \preceq b, b \preceq c$ så $a \preceq c$ (transitivitet)
För varje $a,b \in A$ finns $c \in A$ så att $a \preceq c, b \preceq c$

Ett nät i ett topologiskt rum X definieras som en avbildning från den riktade mängden A till X, där $a \mapsto x_{a}$ .

Exempel

Eftersom en följd i ett topologiskt rum är en avbildning som till varje naturligt tal n ordnar en punkt $x n$ ser vi att en följd är ett exempel på ett nät. Vi kan nämligen lätt verifiera att de naturliga talen är en riktad mängd med sin vanliga ordningsrelation. Det motiverande exemplet inom den allmänna topologin är när A är mängden av omgivningar till en punkt x, med den binära relationen $U \preceq V \Leftrightarrow U \supset V$ .

Referenser

G.B. Folland Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley and Sons, 1999.
J.L. Kelley, General Topology, van Nostrand, 1955.

Den här artikeln är hämtad från http://sv.wikipedia.org/wiki/N%C3%A4t_(matematik)

Kategori: Topologi

This article is from Wikipedia. All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.